কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression - GP) হলো এমন একটি ধারা যেখানে প্রথম পদ ছাড়া যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান থাকে। এই স্থির অনুপাতকে সাধারণ অনুপাত (Common Ratio) বলে, যাকে সাধারণত \(r\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যদি কোনো ধারার পদগুলো \(a_1, a_2, a_3, \dots\) হয়, তবে এটি গুণোত্তর ধারা হবে যদি \( \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \dots = r \) হয়।

এবার আমরা প্রতিটি অপশন যাচাই করব:

১. অপশন ১: $\frac{১}{৫},\frac{১}{২৫},\frac{১}{১২৫}$ অর্থাৎ, \( \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \frac{1}{125} \)

    
• প্রথম পদ \(a_1 = \frac{1}{5}\)
    
• দ্বিতীয় পদ \(a_2 = \frac{1}{25}\)
    
• তৃতীয় পদ \(a_3 = \frac{1}{125}\)

সাধারণ অনুপাত \(r_1 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1/25}{1/5} = \frac{1}{25} \times 5 = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}\)

সাধারণ অনুপাত \(r_2 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{1/125}{1/25} = \frac{1}{125} \times 25 = \frac{25}{125} = \frac{1}{5}\)

যেহেতু \(r_1 = r_2 = \frac{1}{5}\), এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

২. অপশন ২: ৩, ৯, ২৭

    
• প্রথম পদ \(a_1 = 3\)
    
• দ্বিতীয় পদ \(a_2 = 9\)
    
• তৃতীয় পদ \(a_3 = 27\)

সাধারণ অনুপাত \(r_1 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{9}{3} = 3\)

সাধারণ অনুপাত \(r_2 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{27}{9} = 3\)

যেহেতু \(r_1 = r_2 = 3\), এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

৩. অপশন ৩: ৭, ৪২, ৮৪

    
• প্রথম পদ \(a_1 = 7\)
    
• দ্বিতীয় পদ \(a_2 = 42\)
    
• তৃতীয় পদ \(a_3 = 84\)

সাধারণ অনুপাত \(r_1 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{42}{7} = 6\)

সাধারণ অনুপাত \(r_2 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{84}{42} = 2\)

যেহেতু \(r_1 \neq r_2\) (৬ \( \neq \) ২), এটি একটি গুণোত্তর ধারা নয়।

৪. অপশন ৪: $\frac{১}{২},\frac{১}{৪},\frac{১}{৮}$ অর্থাৎ, \( \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8} \)

    
• প্রথম পদ \(a_1 = \frac{1}{2}\)
    
• দ্বিতীয় পদ \(a_2 = \frac{1}{4}\)
    
• তৃতীয় পদ \(a_3 = \frac{1}{8}\)

সাধারণ অনুপাত \(r_1 = \frac{a_2}{a_1} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

সাধারণ অনুপাত \(r_2 = \frac{a_3}{a_2} = \frac{1/8}{1/4} = \frac{1}{8} \times 4 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)

যেহেতু \(r_1 = r_2 = \frac{1}{2}\), এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

সুতরাং, অপশন ৩-এর ধারাটি গুণোত্তর ধারা নয়।